はしくれエンジニアもどきのメモ

情報・Web系技術・Englishの勉強メモ・備忘録です。

Law of total Expectations(全期待値則)メモ

Law of total Expectations(全期待値則)メモ

確率に出てくるtotal Expectations則(日本語だと全期待値則?)のメモ. 次のように期待値(expected) operatorが2つ出てくる.

\begin{eqnarray} E[X] = E[E[X|Y]] = \sum_{y}{ E[X|Y=y]P(Y=y) } \end{eqnarray}

Law of total expectation - Wikipedia

市場には2つの工場のみで生産された電球が供給されている.

  • 工場$x$の電球は平均$5000 \text{[h]}$稼働,市場全体の60%を占めている.

  • 工場$y$の電球は平均$4000 \text{[h]}$稼働,市場全体の40%を占めている.

買った電球の期待長さ(稼働時間)は?

\begin{eqnarray*} E[L] = E[E[L|F]] &=& \sum_f{ E[L|F=f] P(F=f) } \\ &=& E[L|F=x] P(F=x) + E[L|F=y] P(F=y) \\ &=& 5000 \cdot 0.6 + 4000 \cdot 0.4 \ &=& 3000 + 1600 \\ &=& 4600 \text{[h]} \\ \end{eqnarray*}

確率変数が離散の場合の証明

\begin{eqnarray*} E[X] = E[E[X|Y]] &=& E[\sum_x x P(X=x|Y)] \\ &=& \sum_y [\sum_x x P(X=x|Y)] \cdot P(Y=y) \\ &=& \sum_y \sum_x x P(X=x|Y) P(Y=y) \\ &=& \sum_y \sum_x x P(X=x, Y=y) \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \sum_y \sum_x x P(X=x, Y=y) &=& \sum_x \sum_y x P(X=x, Y=y) \\ &=& \sum_x x \sum_y P(X=x, Y=y) \text{|(by marginal prob)}\\ &=& \sum_x x P(X=x) \\ &=& E[X] \\ \end{eqnarray*}

利用例

広告を非表示にする