カイジのEカードの勝率を計算する

図書館でNewton別冊”確率に強くなる―「偶然」にひそむ数学法則”（2010年発行なのでちょっと古い）を読んでたら面白いコラムがあった．選択制じゃんけん．つまりEカードの勝率である．

確率に強くなる―「偶然」にひそむ数学法則 (ニュートンムック Newton別冊)

メディア: ムック

詳細な解説は本に任せて，一部誤植を見つけたので自分でも計算してみる．

Eカードのルール

1vs1で皇帝側と奴隷側になる．
皇帝側は「皇帝」カードx1，「市民」カードx4
奴隷側は「奴隷」カードx1，「市民」カードx4
3すくみの関係があり，皇帝＞市民，市民＞奴隷，そして唯一奴隷は皇帝に勝てる（奴隷＞皇帝’）
これらカードをお互い出していき勝敗を決める．カードは5枚なので5回線で決まる．

詳細は漫画の方で．なお，漫画では基本心理戦でランダムに出すのは禁止

今回はランダムに引いたときに皇帝側が勝つ確率，奴隷が勝つ確率を求める．

各出し方の勝ち負け表

皇帝，奴隷の各出し方のパターンの勝ち負けの表を作る．皇帝，奴隷は1枚ずつより何回目に出すかで5パターンある．

Aを皇帝側，Bを奴隷側とする．

A \ B	(奴隷,市民,市民,市民,市民)	(市民,奴隷,市民,市民,市民)	(市民,市民,奴隷,市民,市民)	(市民,市民,市民,奴隷,市民)	(市民,市民,市民,市民,奴隷)
(皇帝,市民,市民,市民,市民)	A✕ B○（1回目で決着）	A○ B✕（1回目で決着）	A○ B✕（1回目で決着）	A○ B✕（1回目で決着）	A○ B✕（1回目で決着）
(市民,皇帝,市民,市民,市民)	A○ B✕（1回目で決着）	A✕ B○（2回目で決着）	A○ B✕（2回目で決着）	A○ B✕（2回目で決着）	A○ B✕（2回目で決着）
(市民,市民,皇帝,市民,市民)	A○ B✕（1回目で決着）	A○ B✕（2回目で決着）	A✕ B○（3回目で決着）	A○ B✕（3回目で決着）	A○ B✕（3回目で決着）
(市民,市民,市民,皇帝,市民)	A○ B✕（1回目で決着）	A○ B✕（2回目で決着）	A○ B✕（3回目で決着）	A✕ B○（4回目で決着）	A○ B✕（4回目で決着）
(市民,市民,市民,市民,皇帝)	A○ B✕（1回目で決着）	A○ B✕（2回目で決着）	A○ B✕（3回目で決着）	A○ B✕（4回目で決着）	A✕ B○（5回目で決着）

勝率や期待値を計算してみる

全パターンは$5\times 5=25$通りになる．

勝率

Aが勝つ確率を考えると，Aが勝つパターンは5パターンのうち各4通り存在する．よって，$5 \times 4=20$通りになる．（※Newton別冊”確率に強くなる”だと，”16”と誤植になっている．）

$P(A) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8 = 80[\%]$

同様にBの勝つ確率は，5通りより

$P(B) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0.2 = 20[\%]$

大分，皇帝側が有利だとわかる．

\	A	B
勝率[%]	80	20

1回目で決着がつかない，つまり2回目以降の勝率を考える． 2回目以降に決着がつくパターン16通り， 2回目以降にAが勝つパターンは1回目を除いて，12通り．

$P( A | n>=2 ) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0.75 = 75[\%]$

2回目以降にBが勝つパターンは，4通り．

$P( B | n>=2 ) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25[\%]$

３回目以降も考える．Aが勝つのは6通り. Bが勝つのは３通り．

$P( A | n>=3 ) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = 0.66 \cdots = 66.66\cdots [\%] \\\\ P( B | n>=3 ) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} = 0.33 \cdots = 33.33\cdots [\% ]$

同様に考えて表にまとめると，

\	A	B
2回目以降の勝率[%]	75	25
3回目以降	66.67	33.33
4回目以降	50	50
5回目以降	0	100

4回目以降でようやく皇帝側と奴隷側がイーブンになることがわかる． 5回目では，皇帝と奴隷が残っている場合のみなので必ず奴隷側が勝つ．

期待値

皇帝側，奴隷側関係なく決着がつく回数の期待値を計算する．

決着がつく回数のパターンは，

1回目：9通り
2回目：7通り
3回目：5通り
4回目：3通り
5回目：1通り

$\begin{eqnarray} E[n] &=& 1 \frac{9}{25} + 2 \frac{7}{25} + 3 \frac{5}{25}+ 4 \frac{3}{25} + 5\frac{1}{25}\\\\ &=& \frac{9+14+15+12+5}{25}\\\\ &=& \frac{55}{25}\\\\ &=& \frac{11}{5} \\\\ &=& 2.2 \end{eqnarray}$

ランダムにやると，約2回で決着がつくという面白みのないゲームだとわかる．つまり漫画のような心理戦が必須だといえる．

この期待値のうち，皇帝（A）が勝って決着着く回数とその割合，奴隷（B）が勝って決着着く回数とその割合を計算する．

期待値2.2のうち，Aが勝って決着着く回数

$\begin{eqnarray} E_{A}[n] &=& 1 \frac{8}{25} + 2 \frac{6}{25} + 3 \frac{4}{25}+ 4 \frac{2}{25} + 5\frac{0}{25}\\\\ &=& \frac{8+12+12+8+0}{25}\\\\ &=& \frac{40}{25}\\\\ &=& \frac{8}{5} \\\\ &=& 1.6 \\\\ \end{eqnarray}$

Aが平均的に勝つ割合は

$\frac{1.6}{2.2} = \frac{8}{11} \fallingdotseq 0.727$

期待値2.2のうち，Bが勝って決着着く回数

$\begin{eqnarray} E_{B}[n] &=& 1 \frac{1}{25} + 2 \frac{1}{25} + 3 \frac{1}{25}+ 4 \frac{1}{25} + 5\frac{1}{25}\\\\ &=& \frac{1+2+3+4+5}{25}\\\\ &=& \frac{15}{25}\\\\ &=& \frac{3}{5} \\\\ &=& 0.6 \end{eqnarray}$